ZNANOST: hrvatski znanstveni portal

Matematika danas - obrat u teoriji čvora

Engleski fizičar i plemić Lord Kevin, koji je živio i djelovao u 19. st., pukim nagađanjem je pretpostavio da su kemijski elementi zapravo čvorovi u eteru.

U tom slučaju vodik bi bio jedna vrsta čvora, kisik druga, dušik treća i tako dalje kroz čitav periodni sustav elemenata; svaki element zasebno bi predstavljao određenu vrstu čvora sa uvojima i zakretajima samo njemu svojstvenim. Prema takvom konceptu Peter Guthrie Tait je sastavio detaljima popraćenu i vizualno impresivnu tablicu čvorova u nastojanju da prikaže (makar većina čvorova izgleda upravo identično) sve njihove međusobne razlike. No s gledišta fizičara, Kelvin i Tait su bili na krivom tragu; prema gledištu tada novootkrivene grane nuklearne fizike, atomske fizike, koja pojašnjava građu atoma od kojih se sastoje elementi, teorija čvorova je neosnovana i zastarjela. Tako eksplikacije koje ona zastupa bivaju uvrštene u antologiju znanstvenih teorija kao još samo jedan od nadahnutih i složenih pokušaja tumačenja prirodnih elemenata, no nažalost ipak pogrešnih.

No s druge strane, prema viđenjima matematičara, koncepcija čvorova i njihovo tumačenje je itekako dokazalo svoju svrhovitost utrvši putove novoj grani matematike, koja prva znanstveno preuzima i službeno nosi naziv teorija čvorova.

U svom članku naziva ''Kombinacijska revolucija u teoriji čvora'', koji je objavljen u prosincu 2011. fizičar i matematičar Sam Nelson opisuje novi pristup teoriji čvora, koji je posljednjih godina osobito dobio na aktualnosti. Također, važno je napomenuti da je pri pravilnoj evaluaciji objekata koji su definirani kao predmet istraživanja teorije potrebno imati na umu širok spektar raznolikih predmeta i supstanci koje mogu biti u različitim agregatnim stanjima, a pritom imati oblik tj. obilježje čvora. Potencijalni čvorovi različitih namjena mogu postojati u najrazličitijim oblicima pojavnosti.  

Kako mornari u području svoje djelatnosti zasigurno najviše upotrebljavaju konope odnosno čvorove, upravo njima je zasigurno već dugo poznato da postoje različite vrste čvorova, štoviše; broj mogućih varijanti namotaja i ispreplitanja je gotovo neograničen.

Pojam matematički čvor predstavljen je zamišlju zamršenog kruga: zamislite perec-zamršeni krug tijesta, ili primjerice lastiš, koji je zapravo razmršen jer nema oblik čvora. Matematičari proučavaju uzorke, razmjere, simetrije i nepravilnosti čvorova kako bi proizveli i usavršili tehnike pomoću kojih nastoje uočiti i najminucioznije moguće razlike dvaju čvorova. Matematički, moguće je zamisliti uzicu, odnosno crtu koja konstituira čvor kao jednodimenzionalni objekt, a čvor sam po sebi bi trebao egzistirati u trodimenzionalnom prostoru. Projekcije, nalik onima kakve je crtao Tait, su zapravo modeli trodimenzionalnog čvora na dvodimenzionalnoj podlozi. Prilikom crtanja takvih skica, uobičajeno je povući pune i prekinute linije kako bi se prikazali prijelazi ispod i iznad  pri točkama namotaja. Ukoliko se tri ili više niti čvora ukrštavaju u istoj točci grananja, moguće ih je malo pomaknuti bez da se čvor promijeni, tako da je svaka točka u ravnini postavljena ispod najviše dvije niti čvora.

Planski dijagram čvora je shema trodimenzionalnog čvora nacrtanog u dvodimenzionalnoj ravnini , u kojoj svaka točka dijagrama može predstavljati najviše dvije točke čvora. Takvi dijagramski prikazi se već dugo primjenjuju u matematici kao polazište za studije čvorova.

Kako Nelson izvještava u svom članku, matematičari su osmislili različite načine prikaza informacija koje su sadržane u dijagramu čvorova. Jedan od modela je Gaussov kod, koji se sastoji od niza slova i brojki, a svako ukrštavanje u čvoru je označeno simbolom O ili U, ovisno o tome ide li uzica odnosno ukrštavajući namotaj ispod ili iznad uzičnog nastavka. Tako Gaussov kod za jedan jednostavan čvor izgleda primjerice ovako: O1U2O3U1O2U3.

Sredinom devedesetih znanstvenici su otkrili jednu veoma neobičnu činjenicu koja mora pronaći svoje mjesto u dotada standardiziranoj teoriji. Naime ustanovljeno je da postoje određeni Gaussovi kodovi kod kojih je nemoguće grafički prikazati planski model, tj. dijagram čvora, no u većini uvjeta se sheme prikazane kodom ipak ponašaju kao čvorovi. U konkretnom slučaju, ti kodovi koje Nellson naziva neplanski Gaussovi kodovi savršeno funkcioniraju u formulama koje služe kao indikatori u dokazivanju karakteristika koje čine osnovu čvora kao takvog. Nelson objašnjava: Planski Gaussov kod uvijek opisuje čvor u tri dimenzije: no kakvu vrstu informacije može opisivati neplanski kod? Prema rezultatima takvog istraživanja čvorovi koji su legitimno prikazani Gaussovim kodom, a čija svojstva se ne podudaraju s mogućnošću realizacije u trodimenzionalnom prostoru zaista  postoje. Takve virtualne čvorove je moguće istraživati jedino putem pomnog planiranja korištenja stručnih kombinatornih tehnika za procjenu i analizu dijagrama čvora.

Inženjerski pomno integriranom i kompleksnom studijom čvorova i pripadajućih jednadžbi u matematici, znanstvenici su ustanovili da ipak postoje neki općeniti oblici čvorova kakve češće pronalazimo u prirodi, te koji su sukladno tome ne samo tipičniji već i funkcionalniji u grananju svojih niti, neovisno o tome prenose li one elektroničke impulse ili učvršćuju određeni objekt.

Neovisno o dotadašnjim postavkama, neupitno je da ćemo u budućnosti svjedočiti novim otkrićima ove ne tako davno propupale grane matematike.

 Izvor: American Mathematical Society

Podijeli.